Lógica:
Nociones básicas acerca de la estructura y método de la matemática
¿Que es la matemática?
La respuesta dependerá, sin duda, del grado de formación matemática del que responda. Algunas respuestas posibles podrían ser:
- "Es la ciencia que se ocupa de los números y las operaciones entre ellos".
- "Es la ciencia que estudia los números y las figuras geométricas".. etc.
Sin embargo, la respuesta con mas consenso es:
- "La matemática es la ciencia de los patterns (o de los patrones)".
Como una primera aproximación diremos que las ciencias se dividen en Ciencias Formales y Ciencias Fanáticas; las primeras son la Matemática y la Lógica, así llamadas porque sus objetos de estudio son ideales (o bien mentales), no son objetos del mundo real. En cambio la física, la astronomía, la biología, las ciencias sociales son ciencias facticas, ya que sus objetos de estudio son tomados de la realidad.
¿Que es el método axiomático-deductivo?
La geometría euclidiana es un buen ejemplo para introducir esta idea.
¿Como se construya la geometría?
Se dan por conocidos ciertos términos, no siendo necesaria ninguna explicación acerca de su significado; algunos de ellos son "Punto","recta" y "Plano". Estos son los llamados "conceptos o términos primitivos" y no se definen.
Luego, como quien inventa un juego, se formulan unas reglas o enunciados que involucran a dichos conceptos primitivos. Estas reglas son ejemplos de lo que llamamos "axiomas" o "Postulados" de la geometría. Donde los axiomas o postulados de una teoría no se demuestran.
Por ejemplo:
1) Desde un punto a otro siempre puede trazarse una recta.
2) Una recta puede prolongarse indefinidamente en sus dos direcciones.
3) etc.
Cuando un objeto matemático se define de esta manera, se dice que se ha definido en forma axiomática.
Una vez introducidos los "términos o conceptos primitivos" y enunciados los "axiomas o postulados" se esta en condiciones de "jugar el juego". El juego demandara introducir nuevos conceptos, a través de "definiciones"; también sera necesario deducir nuevas reglas y/o propiedades, llamadas teoremas, valederas dentro de esa teoría. La deducción de las mismas se realiza mediante métodos de demostración. Y sera la Lógica la disciplina que va a actuar como soporte de la matemática, proveyendole los métodos y técnicas para "Moverse" dentro del sistema deductivo.
La definición
Es la introducción de un nuevo concepto; en matemática esto se hace mediante las definiciones axiomáticas, las definiciones nominales explicas, las definiciones por inducción o por recurrencia y las definiciones por abstracción.
Definición axiomática de numero natural.
Conceptos primitivos.
- Un conjunto N cuyos elementos se llaman números naturales.
- Un objeto matemático llamado "uno", cuyo símbolo es 1.
- Una relación binaria de N, "es siguiente de", cuyo símbolo es "sg", tal que si x pertenece a N, un elemento de N que este en relación con el se llamara sg(x)
Estos conceptos primitivos son relación por cinco axiomas, llamados:
Axiomas de Peano
- 1 pertenece a N
- Para todo x perteneciente a N, existe y es unico el sg(x)
- Para todo x perteneciente a N, sg(x) es distinto de 1
- Si sg(x)=sg(y), entonces x=y
- Si M es un subconjunto de N y verifica:
- 1 pertenece a M
- Si x pertenece a M, entonces sg(x) pertenece a M entonces M=N
Como puede verse los axiomas son reglas que tienen que ver con los terminos o conceptos primitivos; una mirada atenta sobre los mismos nos permite "traducir" su significado.
¿Que es, en esencia, un conjunto inductivo?
Es un conjunto que contiene al uno y al siguiente de cada uno de sus elementos.
Entre los métodos empleados por la Matemática esta el llamado Método de Inducción completa. Dicho método esta gestado dentro de la teoría axiomática de Peano; y es precisamente el quinto axioma, llamado "axioma de inducción" o "axioma de recurrencia", el que le da vida.
Este método de inducción completa se usa en Matemática para:
- definir conceptos
- demostrar proposiciones
siempre relativas para números naturales.
Definiciones Axiomáticas
Son definiciones implícitas que se formulan introduciendo unos términos o conceptos primitivos y unos axiomas referidos a ellos.
Definiciones nominales explicitas
Son convenciones lingüísticas que se usan para dar significado a una palabra, símbolo u objeto nuevo.
Definiciones por inducción o por recurrencia
Son definiciones que utilizan el quinto axioma de Peano y se usan para definir conceptos relativos a los números naturales.
La definición se formula en dos etapas:
- se define explicitamente para el numero 1.
- se define para un natural cualquiera, en base a su anterior.
Definiciones por abstracción
Este tipo de definiciones son muy usadas en la vida diaria y tienen que ver con la clasificación de objetos según una característica común a ellos.
Teoremas y propiedades.
Una vez introducidos los "términos primitivos" y enunciados los "axiomas" de un sistema axiomático-deductivo, se introducen nuevos conceptos mediante "definiciones" y se deducen nuevas "propiedades" o "teoremas".
Un teorema es un resultado que puede deducirse de los axiomas, de las definiciones y/o de otros teoremas previos. El proceso lógico seguido para establecer la veracidad de un teorema se llama "demostración".
Entre los teoremas se distinguen los "lemas", y los "corolarios"; los lemas son teoremas que no tienen valor en si mismo, pero que son útiles para demostrar otro teorema; y los corolarios son teoremas que son consecuencia directa de otro teorema.
