Sistemas de ecuaciones lineales.

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es de la forma 

Con coeficientes a, b, c, d, e, f reales, x e y variables o incognitas.

Los metodos de resolucion son los de:

• Igualación
• Sustitución
• Sumas y restas
• Determinantes

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas representa geométricamente dos rectas en el plano. Luego si:

1. Las rectas son PARALELAS NO COINCIDENTES, el sistema que ellas determinan resulta INCOMPATIBLE, es decir, SIN SOLUCION. (I)
2. Las rectas son PARALELAS COINCIDENTES, en este caso es COMPATIBLE INDETERMINADO, es decir, admite infinitas soluciones. (CI)
3. Las rectas no son paralelas, luego resultaran oblicuas, es decir que tienen un punto de intersección que sera la solución única del sistema, es decir, COMPATIBLE DETERMINADO (ED).

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

donde , , y  representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en  ni en , entonces la ecuación

no contendría dicha incognita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos  .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye  por su solución en otras ecuaciones donde aparezca  para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en  del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es   .

Sustituyendo  por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es   .

Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita ${\displaystyle y}$ en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y=&22-3x\\y=&{\cfrac {4x+1}{3}}\end{matrix}}\right.}$

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

${\displaystyle 22-3x={\frac {4x+1}{3}}\Rightarrow \quad \ 3(22-3x)=4x+1\Rightarrow \quad \ 65=13x\Rightarrow \quad \ x=5}$

Una vez obtenido el valor de la incógnita ${\displaystyle x}$, se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la ${\displaystyle y}$.

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

Sumas y restas.

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x&+3y&=5\\5x&+6y&=4\end{matrix}}\right.}$

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por ${\displaystyle -2}$ para poder cancelar la incógnita ${\displaystyle y}$. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

${\displaystyle -2(2x+3y=5)\quad \longrightarrow \quad -4x-6y=-10}$

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ${\displaystyle y}$ ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcr}-4x&-6y&=&-10\\5x&+6y&=&4\\\hline x&&=&-6\end{array}}}$

${\displaystyle x=-6}$

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita ${\displaystyle x}$ en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de ${\displaystyle y}$ si sustituimos en la primera ecuación es igual a:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{rrcr}2x&+3y&=&5\\x&&=&-6\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad 2(-6)+3y=5\quad \longrightarrow \quad y={\frac {17}{3}}}$

El método de determinantes será visto en la presentación de álgebra A: Tema determinantes.