Función racional. Ecuación racional asociada.

Llamamos función racional a las funciones f: A→R tal que  donde P(x) y Q(x) son polinomios reales y .

Dominio:

El dominio de una función racional es el conjunto de todos los valores de la variable real que no anulan al denominador.

Dom f=A, donde 

Ejemplos:

  Donde x no puede ser 2.

 Donde x no puede ser -3 ni 0.

Representación Gráfica:

Asintotas verticales:

Si  es cero de Q(x) y no anula a P(x) , la recta de ecuación x=a es una asintota vertical.

Ejemplo:

Tiene una asintota vertical en 0. Puesto que cuando x=0 La función tiende a infinito.

Asintotas horizontales:

Una función racional tiene asintota horizontal si el grado de P(x) es menor o igual que el grado de Q(x).

Ejemplo:

En este caso, y=0 es asintota horizontal de f(x).

Puesto que a medida que x va tomando valores cada vez mas grandes tanto para el lado positivo o negativo, la función se va aproximando al 0 en y.

Ceros de una función racional - Ecuaciones.

Las intersecciones del gráfico de una función racional f(x) con el eje x se producen para los valores de x que anulan la función, es decir, para aquellos que anulan al numerador y que pertenecen al dominio de f(x). Esos valores de x, si existen, son los ceros de f(x).

f: A→R/, entonces  es CERO de f(x) sii  es decir , .

Ejemplo:

,  para hallar los ceros, resolvemos la ecuación racional asociada:

 es decir, , y como -1 pertenece al dominio, entonces  es raíz de la función.

Funciones racionales y sus respectivas gráficas:

La gráfica de   tiene a la recta y=0 como Asintota horizontal y a la recta x=a como asintota vertical.

Factorización de Polinomios

Así como un numero entero puede escribirse como producto de sus factores primos, como por ejemplo ; un polinomio puede expresarse como el producto de su coeficiente principal y polinomios monicos primos. Esta expresión de P(x) se la llama forma factorizada de P(x).

• Monico: Coeficiente principal 1.
• Primo: Un polinomio de grado no nulo, es primo, cuando no puede ser expresado como producto de polinomios de grado menor. 

Si un polinomio no es primo es compuesto.

En general:

Sea P(x) un polinomio y  raíces reales de P(x), existe un polinomio H(x) tal que:

• Si , diremos que  (ó ) es raíz de multiplicidad dos. En general, si  diremos que tiene multiplicad "n".

Formulas de productos notables. 

Formulas de Factorización.

1. a(x+y+z)=ax+ay+az
2. (x+a)(x+b)=+(a+b)x+ab
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 

Entonces para escribir de forma factorizada un polinomio, hace falta identificar el coeficiente principal, y luego hacer el producto de (x-xraiz) del polinomio, las veces que haga falta hasta poner todas y cada una de las raíces del polinomio. En tal caso de haber una raíz doble, con agregar un "cuadrado" al producto ya habremos satisfecho esa condición. 

Teorema de Gauss

Método que permite encontrar raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros.

"Sea  , es decir  para 

Sea r un numero racional,  de tal forma que p y q no tienen divisores en común. En estas condiciones: Si r es una raíz de P(x) entonces p divide a  y q divide a ."

Veamos un ejemplo acerca de como usar este teorema. Sea

1. Controlamos que P(x) tiene coeficientes enteros.
2. Consideramos los divisores de =3, estos son .
3. Consideramos los divisores del coeficiente principal =2. Estos son:. (Entendemos por divisores de un numero entero a todo numero entero tal que el resto de la división es cero).
4. Amamos todos los posibles , con p que divide a 3 y q que divide a 2; estos son: 

Este conjunto de números es un conjunto de "candidatos" a ser raíz racional, es decir, si r es raíz racional de P(x), según se establece en el teorema, r tiene que ser alguno de esos valores. Desde ya, no todos estos valores pueden ser raíces de P(x). Entre otros motivos, porque P(x) tiene grado 3 y por lo tanto tiene a lo sumo 3 raíces.

Para comprobar cual es la raíz, basta con  probar cada uno de los posibles valores especializando en el polinomio.

Efectivamente podemos ver, probando valores, que  son raíces de P(x).