Ecuaciones Racionales e Irracionales

Ecuaciones racionales

Dada la función racional 

Siendo P(x) y Q(x) polinomios. La ecuación racional es: R(x)=0

Ejemplo 1: 

Resolver la ecuación es encontrar los ceros de la función racional.

Los ceros de R(x) son los ceros del numerador P(x) que no anulan al denominador Q(x).

Es decir: las raíces de R(x) son los valores de x que anulan a P(x) y pertenecen al domino de R(x).

1- Determinamos el dominio de R(x)

Calculamos los ceros del denominador:

Los valores que anulan el denominador son: -1 y -3.

Entonces el dominio es: Dom=R-(-1,-3)

2- Calculamos los ceros del numerador

Los valores que hacen cero al numerador son: 

x1=2 y x2=-1

Pero -1 no pertenece al dominio, pues también anula el denominador.

Entonces la solución es: x=2 o S=(2)

Ecuaciones irracionales

Dada y=f(x) una función irracional entonces decimos que f(x)=0 es la ecuación irracional asociada.

Resolver la ecuación es encontrar el conjunto de valores de x que la satisfacen.

Para eliminar las expresiones radicales de una ecuación irracional es necesario elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación.

Surge ahora el siguiente interrogante:

¿Al elevar al cuadrado los miembros de una ecuación, se obtiene otra equivalente?

Ejemplo:

x+3=5

La única raíz de la ecuación es x=2

S=(2)

Ahora elevamos ambos miembros al cuadrado

Resolvemos la ecuación para determinar si es o no equivalente a la primera.

Desarrollamos el cuadrado y obtenemos una polinomica de segundo grado:

Aplicando la formula obtenemos ambas raíces:

x1=2 y x2=-8         S=(2,-8)

Vemos que las ecuaciones no son equivalentes pues solo x1 verifica la primera ecuación y ha aparecido una "raíz extraña" x2 que no la verifica.

En conclusión:

Si por cualquier motivo se elevan al cuadrado ambos miembros de una ecuación (por ejemplo, para eliminar radicales) debe comprobarse si las raíces que se obtienen verifican la ecuación original para eliminar así las "raíces extrañas".

Como vamos a trabajar en el campo real, tendremos que definir el dominio de la función antes de resolver la ecuación y luego verificar que todas las raíces que se obtienen pertenecen al dominio. Las que no pertenecen al dominio tampoco pertenecen al conjunto solución. 

Ejemplo 2:

Resolver la ecuación:

Se sobreentiende que se considera solo el valor aritmético de la raíz.

Encontramos el dominio de definición:

Entonces Dom=(x/ x≥3)

Resolvemos la ecuación. 

Elevamos ambos miembros al cuadrado: x-3 =0

La raíz es x=3.

Como pertenecen al dominio y verifica la ecuación inicial, la solución es 

S=(3)

Recuerda el procedimiento:

1- Determinar el dominio (Conjunto de valores de x que hacen reales a todos los términos de la ecuación).

2- Resolver la ecuación.

3- Verificar si las raíces pertenecen al dominio (las que no pertenecen deben eliminarse del conjunto solución).

4- Verificar las raíces en la ecuación lineal pues al elevar al cuadrado los miembros de la ecuación pueden aparecer "raíces extrañas" que deben eliminarse del conjunto solución.