Demostración Calculo de Áreas Planas integral Definida

Demostración Completa del calculo de Áreas Planas Integral Definida

F(x) funcion continua y positivo en [a.b].
Toda funcion continua tiene un maximo y un minimo.

m min de F(x) en [a,b]
M max de F(x) en [a,b]




Considerando una función continua en [a,b] y concideraremos también un conjunto de   en el intervalo [a,b]
de manera que   . Armando una partición de [a,b]







En general   Todos los son positivos.

Altura

Como F es continua en [a,b] también lo es en cada uno de los intervalos que se definen por la partición considerada.




Cuando la base tiende a 0 entonces el error es despreciable. puede hacerse el proceso de partición de rectángulos con el mínimo y con el máximo
.

Suma inferior 









Suma Superior 

Suma integral

En cada intervalo  consideramos un  y como F es contianua en Cada intervalo Existe siempre 



Por lo tanto: 

Se puede demostrar: 

Si consideramos al limite de la suma integral S, cuando el Máximo de los ,



Siempre que el limite exista y resulte independiente de la partición del intervalo [a,b] propuesta es el valor del área.